3. Математикалық модельдеудегі координаталар

3.1 Координаталардың түрленуі. Тензордың жалпы түсінігі

3.2 Метрикалық тензор. Декарттық тензор

3.3 Декарттық тензорларды түрлендіру заңдары. Кронекер дельтасы. Ортогональдылық шарттары

3.4 Декарттых тензорларды қосу. Скалярға көбейту. Тензорларды көбейту. Векторлық көбейтінді. Леви-Чивита тензоры. Бивектор

Өзіндік жұмысқа арналған сұрақтар

3.2 Метрикалық тензор. Декарттық тензор

Айталық,  – Е – эвклидтік үш өлшемді кеңістігіндегі декарттық координаталар, ал -Е - кеңістігіндегі ортогональдық (түзу сызықты және қисық сызықты) координатасының басқа жүйесі болсын.

 векторы кез-келген  – нүктесінің радиус-векторы.  және  жақын нүктелерінің арасындағы ара қашықтық дифференциалының квадраты келесі формуламен беріледі:

                         және    .         (1.83)

Онда

                            ,                                (1.84)

координатасының түрленуінен

                            ,                                (1.85)

теңдігін аламыз.

Осыдан (1.83) теңдігі келесі түрде жазылатының көреміз:

    .             (1.86)

мұндағы  екінші рангілі тензоры, Е – кеңістігінің метрикалық тензоры немесе фундаментальдық тензоры деп аталады.

Егер  – де  ортогональдық декарттық жүйе болатын болса, онда

                            ,                      (1.87)

мұндағы  – Кронекер дельтасы:

(1.87) орындалатын координата жүйесі біртекті координата жүйесі деп аталады.

Бір біртекті жүйені басқа біртекті жүйеге аударатын (көшіретін) түрлендіруді ортогональдық түрлендіру деп атайды.

Ортогональдық түрлендірумен анықталған тензорлар декарттық тензорлар деп аталады.

Декарттық тензорлар үшін қарсы вариантты және ковариантты тензорлар арасында айырмашылық жоқ, сондықтанда тек қана төменгі индекстер қолданылады.